segunda-feira, 15 de outubro de 2012

Erros comuns em provas matemáticas



Muitos erros podem acontecer durante a construção de uma prova matemática. Alguns desses erros ocorrem durante a manipulação descuidada de expressões e/ou fórmulas. No artigo de Leslie Lamport sobre como escrever uma prova, ele apresenta uma metodologia para estruturar provas matemáticas com diversos níveis de detalhamento. Boa parte dos erros surge por causa pelo baixo nível de detalhamento das provas e também por passos errados.
Exemplo 1:
Passo                            Razão
1. a=b                           Dado
2. $a^2$=ab                     Multiplique ambos os membros de (1) por a
3. $a^2-b^2$ = ab - $b^2$  Subtraindo $b^2$ de ambos os lados de (2)
4. (a-b)(a+b) = b(a-b)  Fatore ambos os lados
5. a+b = b                    Divida ambos os lados de (4) por a-b
6. 2b =  b                     Substitua a por b em (5)
7. 2 = 1                        Divida ambos os membros de (6) por b

O que está errado nessa prova?
Todos os passos são válidos exceto um, o passo 5, onde dividimos ambos os lados por a-b. O erro está no fato de a-b ser zero.

Retirado do livro:
Matemática Discreta e suas Aplicações
Kenneth H. Rosen
Mc-Graw Hill, Tradução da 6a. edição em inglês, 2009, ISBN 978-85-77260-36-2. 

Exemplo 2:
Mostre que se n e m são pares então n+m é par.
O principal erro durante a escrita de uma prova é não saber identificar o que é a hipótese e o que é a conclusão.

Erro 1:
Se n+m é par então n+m = 2k onde k $\in \mathbb{Z}$.
Logo, n e m tem que ser par. Caso contrário, n+m seria ímpar.

Problema:
A nossa hipótese é n e m são pares e a conclusão é n+m é par. Utilizar a conclusão como hipótese é um artificio bastante utilizado por políticos e jornalistas :)  "Nós precisamos de tranporte público porque todo  mundo precisa dele.". Esse é o princípio do raciocínio circular. Note que este erro não é tão díficil de acontecer quanto parece. Quando um matemático utiliza um teorema que utiliza a conclusão como hipótese, ele poderá cair na armadilha do raciocínio circular.

Raciocinio Circular
http://www.mathpath.org/proof/proof.invalid.htm

Erro 2:
Se n e m são pares então n = 2k onde k $\in \mathbb{Z}$ e m = 2k onde k $\in \mathbb{Z}$.
n+m = 2k + 2k = 4k
Logo, n+m é par.

Problema:
Essa prova está certa para uma versão mais restrita do mesmo enunciado: Se n é par então n+n é par. Note que quando você assum que n = 2k e m = 2k, k $\in \mathbb{Z}$. Estamos assumindo que n e m são iguais.

Prova
1.n = 2$k_1$, $k_1 \in \mathbb{Z}$ (n é par)
2.m = 2$k_2$, $k_2 \in \mathbb{Z}$ (m é par)
3.n+m = 2$k_1$ + 2$k_2$ Substituindo (1) e (2) em n+m
4.n+m = 2($k_1$ + $k_2$) Fatorando
5.n+m = 2($k_3$), $k_3$ = $k_1$ + $k_2$ Substituindo  $k_1$ + $k_2$  por $k_3$ 
6.n+m = 2($k_3$), $k_3 \in \mathbb{Z}$ A soma de dois inteiros é inteiro.
7. n+m é par  Pela definição de par

















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